2017-4-25空间直角坐标系中区域分类及相应数学描述的构建

点“考研实验数学” 关注可每天“涨姿势”哦

1 、XY-型区域及其数学描述

与平面区域分类的命名方式及特征确定方式类似，为保证分类名称的统一，在空间直角坐标系下，我们将空间立体区域分成XY-型区域，YZ-型区域和ZX-型区域。

设有空间立体区域Ω，并设该区域在xOy坐标面的投影区域为D_xy，如果在D_xy内任取(x,y)∈D_xy（即点(x,y)不在D_xy的边界上），过点(x,y)做与z轴同向的直线穿过立体区域，如果直线穿过区域Ω且与区域Ω的边界曲面的交点不多于两个，则称立体区域Ω为XY-型区域，如图1，图2中展示的两个区域。

如果直线穿过区域Ω时，与上下边界曲面的交点的竖坐标，即z的值都有统一的一个关于x,y的表达式描述的函数上，即任取(x,y)∈D_xy内时，下交点都位于由二元函数z=z₁(x,y)描述的曲面上，上交点都位于由二元函数z=z₂(x,y)描述的曲面上，则这样的XY-型区域称为简单XY-型区域。

对于简单的XY-型区域可以用不等式描述为

其中D_xy通过将区域Ω投影到xOy坐标面得到，区域在xOy坐标面上的投影区域就是x,y变量的取值范围，它可以通过分类成平面直角坐标系中或极坐标系中的简单平面区域，然后描述成不等式的描述形式。

z变量的取值范围一般为x,y变量的表达式，它通过在x,y变量的取值范围内任取一点做与z轴同向的直线穿过空间立体区域Ω_xy得到，其中入点所在边界曲面的二元函数值为z变量取值区间的左端点，出点所在边界曲面的二元函数值为z变量取值区间的右端点。所以，为获取简单XY-型区域的z变量取值范围，首先需要将区域Ω_xy的上下边界曲面描述为x,y变量的表达式。

显然，图1为简单XY-型区域；图2不为简单的XY-型区域，因为上面的边界曲面一部分为方程x+z=1描述的平面，一部分为方程y=1-z²描述的抛物柱面。因此，在立体区域在xOy面上的投影区域内任意取点(x,y)，做与轴同向的直线穿过区域时，虽然下交点都位于由方程z=0描述的平面上，但是穿出立体区域的上交点在不同位置位于由不同的二元函数描述的曲面上，即有些上交点位于由二元函数z=1-x描述的平面上，有些交点位于由二元函数y=1-z²描述的抛物面上，而不是由一个二元函数描述的曲面上。

但是，只要为XY-型区域，我们一般可以用母线平行于z的柱面或平行于坐标面的平面将它分割成几个简单的XY-型区域的并。比如图2中的区域，可以用平面和抛物柱面的交线Γ，关于xOy坐标面的投影柱面，即由方程x+z=1和y=1-z²消去z变量所得方程x₂-2x+y=0描述的柱面将立体区域分割成两个简单的立体区域，其中投影区域D_xy也由交线Γ在xOy面上的投影曲线C分割成两个与两个简单区域对应的投影区域，如图2。

2、YZ-型和ZX-型区域及数学描述

类似，可以通过将空间立体区域投影到yOz面，zOx面，并在投影区域内任意取点，分别做与x轴、y轴同向的直线穿过例题区域来判定区域是否为YZ-型区域和ZX-型区域以及是否为简单YZ-型区域和简单ZX-型区域。

对于简单YZ-型区域和简单ZX-型区域，它们的不等式描述形式分别为

其中D_yz,D_zx分别将立体区域投影到yOz,zOx坐标面上获得；其中x₁(y,z)，x₂(y,z)和y₁(z,x)，y₂(z,x)分别为立体区域前后、左右边界曲面的二元函数表达式，它们通过在相应的投影区域内任意取点，分别做与x轴和y轴同向的直线穿过立体区域得到，其中取值范围的左端点为入点对应的曲面（后边界曲面，左边界曲面）的二元函数表达式，右端点为出点对应的曲面（前边界曲面，右边界曲面）的二元函数表达式。如果区域不为相应的简单类型区域，则可以通过母线分别平行于x轴、y轴的柱面对其分割，分割成几个简单区域的并。

【注1】一般有了积分空间立体区域的不等式描述形式，就可以直接写出三重积分的累次积分表达式，从而通过定积分计算的方法计算得到三重积分的结果。

【注2】在具体的三重积分计算过程中，在考虑积分区域的分类之前，一般事先最好仔细考察三重积分的被积函数与积分区域的特点，如果发现积分区域整体，或者通过分割后的部分具有关于坐标面对称的特征；并且被积函数整体，或者通过加减拆项后部分具有与区域对称性相匹配的变量的奇偶性时，则应该先考虑借助“偶倍奇零”的计算性质来简化计算过程，提升计算效果。

参考阅读：

微信公众号：考研实验数学(ID: xwmath) 我们的大学数学公共基础课程分享交流平台！

长按二维码关注公众号！本号原创内容欢迎分享转发！转载请注明出处！